Rappresentazioni grafiche e astrazione La rappresentazione
grafica in molte situazioni viene utilizzata come passaggio intermedio tra l'esperienza
concreta del vissuto e la formalizzazione. Per rappresentazione grafica si
intende qualcosa di essenzialmente diverso dal disegno spontaneo: essa è
organizzata e spesso realizzata dall’insegnante che ne fornisce il modello ai
bambini, e contiene un qualche livello di codificazione. Essa si trova sul
cammino non della espressione dell’io soggettivo, ma di una interiorizzazione
di significati che dovrebbe costituire un patrimonio di rappresentazioni
mentali condivise o almeno confrontabili. È questa la direzione
di sviluppo dell’apprendimento matematico, che non nega le risonanze affettive
e le valenze soggettive che le nozioni possono suscitare in ciascuno, ma che costitutivamente non può rinunciare a una strutturazione
di significati comune e univoca; del resto anche lo stesso sviluppo storico
della matematica ha portato a una sempre maggiore formalizzazione. INSIEMI Ma la grafica così come
è utilizzata nella scuola è davvero una situazione che facilita il passaggio
dal vissuto alla rappresentazione astratta? Certamente essa costituisce una
prima possibilità di astrazione, nel senso di una "dimenticanza"
degli elementi accidentali e una selezione di quelli essenziali al
significato, e d'altra parte come astrazione è più accessibile perché gioca
su elementi visivi, ma forse sarebbe opportuno analizzare quali elementi
vengono dimenticati. L’esame risulta più facile se ci riferiamo a una
situazione a tutti nota: la rappresentazione degli insiemi con i diagrammi di
Venn. Prendiamo come esempio
una particolare attività: un bambino, che gioca con i blocchi logici riceve
l'indicazione dall’insegnante di "mettere insieme" i triangoli
rossi, che si trovano ammucchiati da una parte con i cerchi rossi ammucchiati
più in là sul tavolo; il bambino spinge con la mano lungo la superficie del
tavolo uno dei mucchi verso l'altro oppure lo prende, lo solleva e lo porta a
contatto con l'altro. L'insegnante ora fa disegnare al bambino sul quaderno i
triangoli con intorno una linea chiusa, poi più a destra i cerchi all’interno
di un’altra linea chiusa e infine ancora più a destra triangoli e cerchi
insieme all’interno di un unico "recinto". A questo punto può
accadere che l'insegnante aggiunga il segno di unione tra i due primi insiemi
e il segno di uguale o una freccia tra il secondo e il terzo. Sono qui riconoscibili,
come prime forme di astrazione nella rappresentazione grafica, la perdita di
"materialità" degli oggetti, la riduzione da tre a due dimensioni
con la scelta di una sola faccia, la riduzione delle grandezze, la
semplificazione della disposizione spaziale sul piano. La comparsa dei segni
costituisce qualcosa di più di una semplificazione: si tratta di una codificazione
simbolica, diversa dall'uso delle icone grafiche al posto degli oggetti. Ho
l'impressione che ci sia una certa disinvoltura nell’uso del diagramma di Venn, sia per perché si dà per scontato che per i bambini
sia "naturale", sia perché non si considerano le implicazioni
dell’assunzione di quello che è un codice formale; leggerezza che si può pagare
per esempio quando capiterà di voler rappresentare situazioni complesse di
intersezioni e inclusioni multiple (classificazioni di figure ecc.). Ma se il diagramma di Venn crea problemi come icona perché troppo astratto,
altri ne crea come simbolo perché troppo iconico. Il fatto che un segno abbia
un certo isomorfismo con ciò che vuole rappresentare può essere un vantaggio
per la sua memorizzazione e per la sua facilità d'uso (è il caso della
"freccia"), ma può far sorgere difficoltà se il suo "realismo"
ostacola la sua generalizzazione concettuale. In altre parole, se il
"recinto" sta a rappresentare l'Insieme, e ciò torna estremamente
utile per capire ad esempio cos'è un insieme vuoto, come fare per insiemi che
non possono stare dentro recinti, come ad esempio "le parole del
vocabolario" o "i mestieri"? Dentro i diagrammi di Venn si possono scrivere delle parole, ma poi bisogna pur
decidere se quelle sono parole o se rappresentano realtà: in un
lavoro sulle relazioni, non si può dire che alla parola "cuoco"
serve la pentola o che il mestiere di cuoco termina con la lettera O. OPERAZIONI Ma, tornando al nostro
esempio di Unione di Insiemi, vi sono altri e più gravi difficoltà legate
all’astrazione come "dimenticanza". Ciò che si perde nella rappresentazione
grafica è il contesto e soprattutto l'azione. Per il pensiero concreto del
bambino operazione è la propria azione diretta. Se la matematica esige che si
passi a operazioni mentali su simboli, lo sviluppo del pensiero esige a sua
volta che si rispettino le tappe. L'azione, anche prescindendo dalle dimensioni
affettive, dagli aspetti motivazionali, dalla soggettività della percezione,
ha comunque una dimensione irriproducibile: il tempo. Riguardiamo il disegno
sul quaderno: ci sono tre insiemi, contemporaneamente. Mentre
nell’azione la creazione dell’Insieme Unione avveniva proprio grazie alla
distruzione dell’esistenza separata dei due insiemi, qui accanto
all’esistenza attuale dell’Insieme Unione è visibile la memoria dei
primi due insiemi; ma senza che nulla indichi la differenza tra la loro natura
di fantasmi tornati dal passato e la realtà presente del terzo insieme. Quando agli insiemi si
sostituiranno i numeri che ne rappresentano le potenze e all’operazione insiemistica
di Unione si sostituirà l'Addizione, rimarrà tutta intera la non risolta
contraddizione tra ciò che è rappresentato e ciò che si fa, tra il significato
di uguaglianza come sostituibilità reciproca e il significato di
"risultato" come effetto di un operare che modifica gli stati di partenza. Con ciò non sto
suggerendo di saltare direttamente dall’azione concreta alla rappresentazione
numerica, che poi nella realtà della scuola vorrebbe dire in pratica fare
come è sempre stato fatto, cioè eliminare il vissuto dall’apprendimento matematico;
sto domandando se la rappresentazione grafica è un passaggio necessario
alla concettualizzazione degli insiemi. Le operazioni sugli insiemi sono
concrete e nello stesso tempo rappresentabili mentalmente, per cui costituiscono
il canale "naturale" verso l'astrazione numerica; credo però sia un
errore pensare che (o agire come se) la rappresentazione grafica degli
insiemi, così come si usa sui quaderni dei nostri bambini, sia qualcosa di
molto vicino all’esperienza vissuta, e credo invece che occorra essere
coscienti che si tratta di un livello di astrazione molto più vicino a quello
dei numeri. ORIENTAMENTO Ci sono molti altri
esempi di usi e abusi scolastici della grafica che creano interferenze con i
processi di astrazione, e la geometria, che nella scuola è ancora
essenzialmente una scienza basata sulla visione, è quella che ne fa le spese
maggiori. Da dove viene l'inestirpabile stereotipo che i triangoli hanno
"la punta in alto" e una "base" sola, se non dalla
concettualizzazione di un’abitudine a disegnare i triangoli sulla lavagna
sempre con un lato orizzontale e in posizione inferiore? La geometria affronta
essenzialmente due tipi di problemi: i rapporti spaziali di un oggetto con
l'ambiente (orientamento) e i rapporti spaziali interni a un oggetto (forme e
dimensioni). Il problema dell’orientamento ha come punto di arrivo
nell’insegnamento della geometria nella scuola dell’obbligo i sistemi di
riferimento polare e cartesiano, utilizzati essenzialmente nella loro rappresentazione
grafica sul piano. Il cammino per arrivarci è lungo e le tappe di astrazione
progressiva sono molte: dal vissuto globale alla coordinazione degli spazi
percettivi, dall’isolamento dello spazio visivo alla sua riduzione a due
dimensioni e al piano. La dose di astrazione
che contiene quest’ultimo passaggio è talmente alta da richiedere una estrema
attenzione da parte dell’insegnante. Qui non si tratta di concentrare
l'attenzione su una parte della realtà, ma di passare a lavorare su qualcosa
che non esiste: può esistere la superficie del mare da sola, senza il mare? È
però vero che io posso dire che la superficie del mare è increspata, o che la
pianura si estende verso est. È dunque possibile parlare attorno a superfici
e alle loro caratteristiche, e questo perché ne esiste una percezione
specifica. Ma allora è da questa esperienza percettiva che si deve partire,
dalle tracce concrete che l'attività dei bambini scopre o lascia sulle
superfici reali. La punta della matita o la "tartaruga" di LOGO non
sono altro che la proiezione del soggetto che si muove sul terreno. L'uso prematuro della
rappresentazione grafica, la quale implica anche inevitabilmente la riduzione
in scala e che richiede la sicura consapevolezza degli isomorfismi, rischia
di separare l'attività geometrica sul foglio di carta dal suo referente reale,
di trasformare l'uso dei sistemi di riferimento in un esercizio difficile che
non ha nulla a che fare con l'orientarsi. Oltretutto, parlando di
orientamento, non si può trascurare il problema dell’orientamento del foglio
stesso. Il foglio è un oggetto fisico nello spazio reale ma è anche il piano
rappresentato: i due aspetti sono contemporaneamente presenti, ma tra di essi
c'è un grande salto di astrazione. Nella sua prima natura il foglio ha un
orientamento spaziale, di solito orizzontale sul piano del banco con due assi
impliciti, avanti-dietro e sinistra-destra, che si uniformano a quelli del
corpo del bambino che su esso agisce, mentre nella sua seconda natura non ha
assolutamente un orientamento. Nella geometria euclidea (quella proiettiva e
soprattutto quella topologica non possono per loro natura essere ridotte a
disegni su un foglio se non in una versione estremamente astratta) la forma è
definita dai rapporti interni che non mutano con l'orientamento complessivo
rispetto a un sistema di coordinate esterne: l'essenza della geometria
euclidea è proprio l'astrazione dal punto di vista. Nella scuola
l'insegnante disegna sulla lavagna, che ha un orientamento fisico diverso dal
foglio dei bambini, e spesso non si preoccupa di "percorrere
l'astrazione" per esempio attraverso l'esperienza dello scivolamento del
foglio dalla lavagna al banco. Ma il compiere questa operazione non è sufficiente,
è solo la condizione necessaria per prendere coscienza delle fondamentale
diversità della "situazione lavagna" dalla "situazione
banco" in termini di spazio reale: mentre sulla lavagna esiste un'unica
direzione verticale e un'unica direzione orizzontale, sul piano del banco non
esiste la direzione verticale, che inequivocabilmente è quella definita
dalla gravità, ed esistono infinite direzioni orizzontali, altrettanto
inequivocabilmente definite come perpendicolari alla verticale. Questi
termini si riferiscono allo spazio fisico, tanto è vero che esistono strumenti
di verifica basati sulla gravità; ma il filo a piombo e la livella raramente
entrano a scuola, forse perché non si sa in quale "Materia" metterli. È proprio nella
trasformazione operata con il semplice scivolamento del foglio dalla lavagna
al banco che è contenuto il grande salto di astrazione dalla proiettiva alla
euclidea, da una geometria "della realtà" a uno spazio puramente
rappresentato: ciò che rimane invariato nella trasformazione è appunto
qualcosa di "assoluto" cioè di non relativo al punto di vista, di
slegato dallo spazio fisico. Saltando questo
passaggio si radica nei bambini l'utilizzo improprio del termine
"verticale", per indicare la direzione avanti-dietro del foglio,
che sul banco è orizzontale. Il disastro è doppio: da una parte, come ben sa
chi lavora nelle scuole professionali per l'edilizia, occorrono sforzi immensi
per recuperare una corretta rappresentazione del sistema di riferimento
fisico verticale- orizzontale, che pure è quello originale del vissuto;
dall’altra altrettanti sforzi, spesso destinati all’insuccesso, devono essere
spesi per svincolare i concetti e le operazioni della geometria
dall’orientamento fisico di una particolare rappresentazione. Dire che un
triangolo disegnato sul banco ha "la punta in su" significa non
solo non essere coscienti dell’astrazione euclidea, ma anche non essere
padroni della rappresentazione dello spazio fisico. FORME GEOMETRICHE All’intersezione tra
l'orientamento e lo studio delle forme sta il concetto di angolo, dove si ripropone
il problema della eliminazione della dimensione dell’azione. Il riferimento
psicomotorio è qui lo sguardo (semiretta) che cambia direzione, da una di
partenza a una di arrivo (lati dell’angolo), quando il corpo ruota attorno al
proprio asse (vertice dell’angolo). Un’esperienza che facilita la gradualità
dell’astrazione verso il concetto "assoluto" di angolo è quella del
controllo dello sguardo mentre si percorre una linea spezzata. Si può passare
dal punto di vista soggettivo al trasferimento del sistema di rotazioni del
soggetto a un altro punto di vista esterno diversamente orientato (le
esperienze con la "tartaruga" di LOGO si inseriscono in questo percorso). La rappresentazione
grafica pone il problema non tanto della riduzione a due dimensioni quanto
della cancellazione del movimento di rotazione di cui restano solo gli stati
iniziale e finale, difficilmente riconoscibili come tali. Nell’uso scolastico
poi l'angolo è quasi sempre angolo "interno" e ciò richiede,
rispetto alla esperienza precedente, un totale ribaltamento percettivo del
rapporto tra rotazione e lati dell’angolo (che sono l'unica cosa che si vede
nel disegno): mentre quando si percorre una spezzata la rotazione sul vertice
avviene tra il prolungamento (sguardo) della direzione precedente e la nuova
direzione (lati), l’angolo interno corrisponde alla rotazione che lo sguardo
compie se, stando sul vertice, si porta lo sguardo sul secondo lato a partire
dal primo (vedi figura). In realtà è una cosa più difficile a dire che a
fare, ma appunto occorre farla.
Oltretutto la
dissociazione dell’esperienza della rotazione dalla rappresentazione grafica
dell’angolo, ristretta per di più agli angoli interni, crea difficoltà
all’apprendimento del concetto di ampiezza e alla sua misura; viene fissato
lo stereotipo visivo dell’angolo come "qualcosa a punta" che ne impedisce
una corretta generalizzazione agli angoli ottusi e concavi, rari nelle figure
geometriche, e a quelli superiori al giro, addirittura non disegnabili. L'interferenza delle
abitudini scolastiche relative alla rappresentazione delle figure porta a capovolgere
l'ordine naturale del processo di astrazione. Non ci sono dubbi che è più
facile rappresentare sul foglio un segmento che non un parallepipedo
in prospettiva, ma è altresì vero che oggetti a forma di parallelepipedo
esistono mentre un segmento non "esiste": al massimo se ne può
identificare un modello isolandolo all’interno di una percezione visiva.
Un bambino che, di fronte ai disegni a) e b), affermi con sicurezza
che si tratta di cubi potrebbe venire giudicato dotato di capacità di astrazione
e di padronanza dei codici grafici. Quando però lo stesso bambino non
riconosce un cubo nel disegno c) e mostra difficoltà a dire quante facce o
quanti spigoli ha un cubo, allora nasce qualche sospetto. Alla domanda come
possono due figure diverse come a) e b) rappresentare entrambe un cubo e
quale delle due assomiglia a come si vede un cubo, il bambino non
saprà rispondere, e allora sarà evidente non solo che non ha alcuna consapevolezza
dei codici grafici e delle convenzioni che li reggono. Per lui
"cubo" è un'associazione stereotipa tra una configurazione gestaltica
visiva e una parola; probabilmente non ha mai avuto occasione di osservare dal
vero né un cubo pieno, né tanto meno uno fatto dei soli spigoli (ad
esempio costruito con del filo di ferro), che è l'unico che può, interposto
in un fascio di luce, dare come ombre figure piane del tipo di a) b) e c). Un apprendimento
rispettoso delle dinamiche di sviluppo dell’astrazione dovrebbe partire
dall’esperienza degli oggetti nella loro materialità, prima di
"dimenticare" le loro caratteristiche fisiche globali per
concentrare l'attenzione sulle loro forme e dimensioni. Si avrebbe così una
corretta percezione del volume come grandezza fisica, misurabile cioè con
procedimenti fisici, dell’oggetto e non come numero risultante da un calcolo
eseguito in base a formule (le chiamano così) pressoché magiche per i
bambini. Oltretutto si renderebbe più naturale il passaggio a quell’entità percettivamente vera e materialmente astratta che è la
superficie come elemento determinante della forma degli oggetti. In un bambino dotato di
capacità di astrazione, e quindi di generalizzazione, l'uso prematuro ed esclusivo
della grafica in geometria indurrà a pensare che le superfici hanno sempre
forme geometriche, che sono sufficientemente piccole da stare in un foglio,
che sono sempre piane, che sono associate in qualche modo inesplicabile a due
procedure di calcolo, chiamate "area" e "perimetro",
difficilissime da distinguere tra loro. La confusione è assicurata dai libri
che insistono a chiamare figure piane dei disegni in cui si vede solo la
traccia che rimane "percorrendo" con la penna il confine della
figura. Ci dev’essere una forte dose di masochismo
negli insegnanti: le due nozioni infatti nel vissuto sono completamente
distinte. Come l'esperienza del "ricoprire" può introdurre a un
operare con le superfici "senza oggetti", così il
"percorrere" può far entrare nel mondo di quelle entità ancora più astratte
che sono le linee "senza superfici". Pur con le difficoltà date
dalla mancanza di "fisicità" sarebbe più facile arrivare a una
corretta percezione dell’area e della lunghezza come "grandezze",
cioè come qualità caratteristiche, delle superfici e delle linee. Ma non basta: sono il
ricoprire e il percorrere come attività del soggetto che isolano (svelano,
creano?) quelle grandezze dell’oggetto. Ciò significa ricondurre
correttamente l'astrazione all’attività del soggetto; e non si tratta di una
velleità filosofica, ma di evitare tanti stereotipi deleteri, quelli ad esempio
per cui una matita "è lunga" mentre invece "un
decimetro cubo pesa un Kilo". Il non pensare alla matita come oggetto
anche pesante, o il non specificare di quale linea identificabile all’interno
della matita si misura la lunghezza, o il non capire che il decimetro cubo
non è un oggetto ma una misura di volume di un oggetto che nel contempo ha
anche un peso misurabile, sono effetti della mancanza di quella
consapevolezza di fondo nel rapporto tra realtà e rappresentazione matematica
che già abbiamo evidenziato nel discorso sul "cubo". Al centro dell’uso
della grafica sta appunto il nodo della consapevolezza dell’astrazione. Una
comprensione dell’astrazione, intesa come specifico concetto astratto,
richiede una controllo dell’astrazione, intesa come livello di rappresentazione
cui si opera, e questa a sua volta richiede l'esperienza dell’astrazione,
intesa come percorso dal vissuto alla formalizzazione. ELIMINARE LA GRAFICA? Senza la consapevolezza
della differenza tra la traccia nera di matita sul foglio e la linea geometrica,
il bambino sarà portato a pensare che la linea È quella traccia. Questo non è
grave per la sua scorrettezza teorica, o meglio non sarebbe grave se poi
qualcuno non pretendesse da lui definizioni teoriche, quanto piuttosto per la
perdita del rapporto tra esperienza e geometria, tra realtà e sue rappresentazioni,
quel rapporto che è così difficile da ricostruire dopo. Eppure
l'esperienza spesso è lì "a portata di occhio": quando i bambini
osservano il confine tra il mare e il cielo o tra le strisce di colore diverso
delle loro maglie, non vedono forse una linea effettivamente a una sola
dimensione, come prescrive la teoria? Quando, per dare un
modello percettivo alla geometria proiettiva, si opera con le ombre non si ha
forse davanti agli occhi la concretizzazione della natura della superficie
"senza spessore"? C'è come un corto circuito tra esperienza e
teoria che tende a saltare la grafica. L'esempio forse più clamoroso è quello
della topologia, la prima geometria nello sviluppo del pensiero del bambino e
l'ultima nell’evoluzione storica del pensiero matematico. Qui l'esperienza è
più vicina alla globalità senso-motoria del vissuto e nello stesso tempo la
teorizzazione è più formale: il campo grafico intermedio resta vuoto. La geometria moderna ha
eliminato la rappresentazione grafica, portando alle estreme conseguenze la
formalizzazione, ma ciò può non costituire un argomento decisivo per quanto riguarda
l'apprendimento da parte dei bambini. Quello che si può dire però è che forse
è tempo di mettere in discussione un ricorso indiscriminato e incontrollato
alla grafica. Ciò che mi sembra degno
di attenzione è oltretutto la dimensione quantitativa del problema: nella
misura in cui la scuola fa uso di libri di testo, lavagne, quaderni e fogli
da disegno, l'apprendimento passa attraverso la rappresentazione grafica.
Anche intendendo in questa sede esclusa dal discorso quella particolare forma
di rappresentazione grafica che è la scrittura, il fenomeno è imponente. Forse non è possibile
né utile eliminare la grafica, ma dovremmo almeno chiederci se il disegno sul
quaderno dell’Unione degli Insiemi risponde a una reale necessità di
formalizzazione matematica o di apprendimento da parte dei bambini (che gli
Insiemi li hanno già uniti) o piuttosto a una esigenza dell’insegnante di
documentare (a chi?) il lavoro, e quindi a un suo bisogno di sicurezza. |
