Alla ricerca di una connessione tra
la matematica, nel suo sviluppo culturale, e la vita, a partire dal suo
significato biologico Questa rivista ha dato molto spazio all'insegnamento della
matematica dal punto di vista del come.
È un punto di vista strettamente pertinente al mestiere dell'educare, ma
tende a lasciare fuori dal campo della riflessione una questione altrettanto
pertinente, quella che riguarda l'oggetto.
Allora questa volta vorrei partire da una diversa domanda: quale matematica insegnare e perché? Sembrano esserci due risposte, almeno implicite, in
circolazione nel mondo scolastico. La prima: si studia la matematica per le
sue applicazioni alla soluzione di
problemi [1].
È una prospettiva che va nella direzione della tecnologia intesa antropologicamente come strategia di adattamento della specie
umana. La seconda delinea una prospettiva epistemologica:
si studia la matematica in sé
perché è una delle fondamentali strutture
del pensiero (Piaget sosteneva che, a partire
dall'operare concreto sugli oggetti, due sono le direzioni di sviluppo del
pensiero del bambino: quella che dagli
oggetti porta all'astrazione delle leggi di funzionamento della realtà, e
quella che dalle operazioni va verso
l'astrazione delle strutture matematiche). La mia personale ricerca di risposte muove da un'esigenza
di connettere, come nodi di una rete, riflessioni che sembrano appartenere a
contesti molto lontani, cui pure corrispondono luoghi della mia esperienza,
parti copresenti della mia identità. IL
LINGUAGGIO DEL VIVENTE Il primo nodo emerge dall' "ecologia della
mente". Gregory Bateson pone una fondamentale
distinzione tra il rapporto cognitivo che l'umanità ha con il mondo della
materia inanimata e quello con il mondo del vivente. Per il mondo fisico il
linguaggio che si usa per organizzare la conoscenza risponde a un criterio di
coerenza logica, e, sullo sfondo, a una esigenza di previsione degli
eventi (quella per cui, al di là di tutti i discorsi sulla fine del mito
dell' "oggettività" della conoscenza, nessuno mette le dita in una
presa elettrica). Nel caso del vivente, la conoscenza umana deve fare i conti
con un mondo che si organizza, funziona, evolve, sulla base di informazioni,
e quindi "parla" un suo linguaggio; il problema non è qui quello di
"spiegare", ma di "comprendere", se non si vuole
distruggere l'unità organica di un mondo di cui anche la specie umana fa
parte. La matematica è il sostegno fondamentale del linguaggio
che l'uomo ha elaborato per descrivere il mondo fisico e per sviluppare, a
partire dalla facoltà di prevedere, la tecnologia. Ma, se è vero che il
"metodo", che a partire da Cartesio e Galileo portò al successo di
Newton, ha prodotto, insieme al progresso della tecnologia, come faccia della
stessa medaglia, la crisi ecologica (che comprende la distruzione della
natura tanto quanto le patologie dell'umanità), la matematica pare avere poco
a che fare con le scienze del vivente. Tutto ciò mi sembra collegato a domande molto pratiche e
attuali nel contesto delle ipotesi di riforma scolastica: perché nella scuola
l'insegnamento della matematica è abbinato a quello delle
"scienze", che comprendono sia le scienze fisiche che quelle del
vivente, ed è distinto dalla "educazione tecnologica" (cui invece
lo collega il recente progetto ministeriale SeT
"Scienza e Tecnologia")? e perché l'insegnamento delle
"scienze umane" è abbinato con la letteratura italiana? IN
PRINCIPIO ERA LA GEOMETRIA Il secondo nodo viene dal mondo dei saperi scolastici. La
geometria è una parte della matematica? Storicamente, nel rapporto con la
scienza all'interno del grande progetto di conoscere il mondo, la matematica,
intesa come teoria dei numeri e delle equazioni, ha soppiantato la geometria
come modo di pensare alternativo a
essa. Galileo è l'ultimo che tenta di utilizzare il linguaggio analogico delle figure elaborato dai
Greci [2]
per spiegare l'astronomia: <<… i
caratteri [del libro della natura] son triangoli, cerchi, ed altre figure
geometriche…>> Soltanto pochi anni dopo Robert Boyle sostiene che
<<l'alfabeto in cui Dio scrisse il mondo sono i principi matematici e
meccanici.>>. Non si tratta solo di nomi: Galileo si scontra con
l'insufficienza del linguaggio geometrico quando la sua scienza non comprende
più solo posizioni e traiettorie, ma anche forze e velocità. Il trattamento
delle quantità delle variazioni richiedeva un nuovo linguaggio. Non a caso è
Newton a elaborare la nuova matematica del calcolo infinitesimale nei "Philosophiae
naturalis principia mathematica",
uno dei testi storicamente più importanti nella società scientifica. La geometria per l'astronomia, l'algebra per la fisica:
quale matematica dunque per una scienza del vivente e del sociale? Nessuna?
Ci affidiamo dunque alla psicoanalisi per comprendere la sociologia e
l'economia? E l'etologia, la
fisiologia comparata, la genetica...? L'ESTETICA Terzo nodo. <<…
oggi possiamo dire che a fianco della bellezza astratta della teoria, c'è anche
la bellezza plastica della curva, una bellezza stupefacente. Dunque dentro
questa matematica molto elegante dal punto di vista formale, molto bella per
gli addetti ai lavori, c'era anche una bellezza fisica, accessibile a
chiunque.>> [3] Si legge spesso nei libri che il tale grande matematico è
passato alla storia per aver trovato una soluzione "più elegante" a
un problema; e spesso si tratta di un problema di matematica
"pura", cioè una faccenda con scarse prospettive di applicazione
tecnologica, un "rompicapo" piuttosto, qualcosa che nella nostra
esperienza forse potremmo collocare, se non sembrasse irrispettoso, nel campo
dell' "enigmistica". Questo aspetto di gratuità e di sfida mi ha sempre
mantenuto viva l'attenzione alla componente ludica della matematica (sotto-nodo:
il gioco è anche dinamica fondamentale della natura nella sfida della
sopravvivenza, tra "il caso e la necessità", tra i vincoli delle
"leggi" e la componente aleatoria, a generare la contingenza della
"storia naturale"). Come insegnante, questa dimensione ludico-estetica l'ho
ampiamente utilizzata per la didattica, con una riserva mentale però. Nei
momenti in cui vedevo i miei allievi lottare duramente contro il
"teorema di Pitagora" tornava un pensiero: forse, molto più che la
briscola, la matematica diventa un gioco creativo, con una forte motivazione
estetica, solo per chi ne possiede una grande competenza. Poi è arrivata
Marta, studentessa del secondo anno del liceo artistico, che io aiuto perché
dice, come troppi altri, di "non capire niente di matematica". Con
lei ho visto in azione anche per la matematica qualcosa che sapevo valere per
l'arte: l'estetica non sta solo dalla parte di chi costruisce un oggetto, ma
anche di chi lo guarda (ascolta ecc.) e lo manipola. Da Marta ho imparato che
l'estetica può essere un fattore decisivo nel modo di comprendere (con lei
non c'è spazio per un lavoro "creativo" essendo l'oggetto di lavoro
strettamente predeterminato dal programma scolastico). In quei passaggi
decisivi della comprensione, nei momenti in cui il suo viso contratto di
studentessa alle prese con prove incomprensibili si distende in un sorriso,
il momento del "Aaah!", la creatività
appare come scelta di percorsi mentali in cui la sensibilità artistica gioca
direttamente (il modo "barocco" di risolvere un sistema di equazioni
ad esempio), come intuizione improvvisamente luminosa che passa attraverso la
percezione di un "ritmo", di una "figura" che emerge
dallo sfondo, nel momento in cui si osserva il contenuto con un'
"inquadratura" diversa da quella del libro di testo. <<Jeannette
ha comprato quattro riproduzioni di quadri, tutte delle stesse dimensioni.
Vuole sistemarle sul muro a eguale distanza l'una dall'altra. Tenta un poco,
senza utilizzare gli strumenti di misura. Ed ecco fatto, tutto è sistemato
con precisione. Mi dicono: "lei ha molta esperienza di misurazione; ha
un'enorme pratica" - "Nient'affatto!" - "Allora ha il
senso dell'armonia!">>
[4] IL
METODO NATURALE Il quarto nodo si colloca nel contesto dell'insegnamento.
Il brano precedente compare nel libro in cui Paul Le Bohec
presenta il suo "metodo naturale per l'apprendimento della matematica"
in cui l'iniziativa è lasciata alla creatività dei bambini, e ciò che
caratterizza il comportamento dell'insegnante non è soltanto la sua regia, ma
un suo "scandaloso" silenzio rispetto all'oggetto. Paul sottolinea
il ruolo essenziale del gruppo: <<
… bisogna riconoscere che spesso si ha bisogno degli altri per sbloccarsi […]
grazie al gruppo si possono scoprire nuove prospettive, formarsi nuove
strategie, riconsiderare i propri atteggiamenti.>>[5].
Ciò che mi interessa qui è la dimensione epistemologica
del lavoro in gruppo: <<Le cose
non sono mai semplici, ma bisogna fare buon viso a questa complessità
inevitabile. In una classe dove ciascun bambino dà in gran quantità al gruppo
i suoi "oggetti matematici", ciascuno vede aumentare le occasioni
di trovarsi fornito di leggi interessanti ed efficaci. È sufficiente versare
questi ingredienti nelle macchine pensanti automatiche umane. E siccome
invece di un solo individuo che lavora, si ha tutta una comunità, si hanno
molte carte vincenti in mano per gestire al meglio questa ineluttabile complessità.>>[6].
(BRAIN)STORMING Il quinto nodo emerge dal mondo della tecnologia più
spinta. Uno studioso americano di "Intelligenza Artificiale", James
Bailey, scrive: <<Sappiamo che
gli stormi possono cambiare direzione in modo improvviso e coerente all'apparire
di una minaccia. L'assunto che tutti gli uccelli ubbidiscano agli ordini di
un capo rimase incontrastata sino alla fine degli anni Ottanta […] Poi una
simulazione intermatematica mostrò che […] basta che ogni uccello si conformi
semplicemente al comportamento degli uccelli più vicini perché il
comportamento coerente emerga in modo spontaneo.>>[7].
Ma che cos'è una "simulazione intermatematica"? La nascita dei computer elettronici avviene nel contesto
bellico per sostituire "calcolatori" umani nella esecuzione di
calcoli di tiro. Si tratta di un tipico problema "newtoniano". La
matematica delle equazioni permette di calcolare, e quindi di prevedere, l'effetto che una serie di
variabili tra loro indipendenti e progressivamente meno influenti hanno
sull'incognita. I computer incorporano questa matematica sotto forma di
programmi fissi in grado di trattare dati variabili (input). Ma la struttura
fisica e logica dei computer è quella di unità semplici interconnesse; per
fare in modo che le operazioni semplici eseguite dai singoli circuiti
"di basso livello" diano alla fine un risultato "di alto
livello" occorre fare in modo che ognuno di essi venga attivato in punti
precisi di una dettagliatissima sequenza
di istruzioni, così complicata da richiedere ormai più livelli di
linguaggi intermedi per essere descritta in modo gestibile da un programmatore
umano. Lo sviluppo dei computer è andato nella direzione di
rendere incomparabilmente più veloce l'esecuzione di tutte le operazioni
necessarie e incomparabilmente più vasta la capacità di memoria necessaria
per contenere le istruzioni e per gestire tutti i dati del calcolo. Ma non è
cambiato il tipo di pensiero matematico che essi implementano. È per questo
che, per quanto potenti essi diventino, non sono utili per prevedere la
dinamica del volo di uno stormo di uccelli, né l'andamento della borsa, che
sono questioni non complicate bensì
complesse. Nel fallimento del
programma meccanicista di estendere la scienza newtoniana a tutto lo scibile,
la matematica ha un suo posto. Le equazioni hanno successo per tutte le
situazioni assimilabili al funzionamento di una macchina (Adam
Smith, seguace di Newton, aveva esattamente questa idea dell'economia), non
invece quando le variabili non sono indipendenti tra loro, quando gli effetti
retroagiscono sulle cause, quando gli elementi in gioco sono interconnessi a
rete, quando sono presenti elementi aleatori (ad esempio l'iniziativa
individuale), quando l'organizzazione del sistema è tale che le leggi valide
per le unità elementari (ad esempio individui) non sono le stesse che valgono
per unità di ordine superiore (ad esempio gruppi sociali, istituzioni ecc.):
ecco perché le equazioni non risolvono la maggior parte dei problemi, complessi
appunto, della realtà biologica e sociale. L'idea che Bailey propone, sulla base di una esperienza
ancora poco nota, è che si possono ottenere migliori risultati in questi
campi se si fanno funzionare i computer in un modo più organico alla loro
stessa struttura interna. Si tratta di lasciare che tantissime piccole unità
funzionali elaborino piccoli pezzi di soluzione in modo sostanzialmente
casuale all'inizio, e che queste soluzioni vengano sottoposte a un processo
di ricombinazione e selezionate sulla base di una verifica del loro grado di
approssimazione alla soluzione del problema. Il computer "impara"
dai propri risultati modificando continuamente quello che ormai non si può
più chiamare il proprio "programma". Si tratta di processi che, per
la quantità enorme di operazioni, richiederebbero un tempo cosmico per una
mente umana, che funziona in modo sequenziale,
una operazione dopo l'altra, ma che non costituiscono un problema per un
computer in grado di far funzionare "in
parallelo", cioè simultaneamente, milioni di circuiti iperveloci. Al posto della matematica di Newton questi
computer incorporano le "intermatematiche", il "metodo Montecarlo",
la "logica fuzzy", insomma forme di
matematica e di logica nuove ma che hanno qualche radice e qualche antenato
dimenticato nella storia del pensiero occidentale. UN
GRANDE GIOCO Ma è venuto il momento di tentare di tirare i fili di
questa rete. Il bandolo sporgente, la parola chiave che emerge alla mia
attenzione in questo senso è "evoluzione", un processo di cui Bateson evidenzia l'analogia con l'apprendimento, che
Charles Darwin vedeva articolarsi in due fasi: la variazione come fonte di
materia prima del cambiamento, e la selezione naturale che gli impartisce una
direzione. Un processo in cui lo spreco che si ha nel non convergere verso la soluzione, e nel produrre
innumerevoli soluzioni "errate", è compensato dalla disponibilità
di soluzioni pronte per un adattamento creativo a situazioni impreviste. Questa "logica evolutiva" riguarda il mondo
biologico: <<È un chiaro errore, anche se deplorevolmente
comune, supporre che l'utilità corrente di un carattere consenta di formulare
un'inferenza sulle ragioni della sua origine evolutiva. L'utilità corrente e
l'origine storica sono cose ben diverse. Ogni carattere, indipendentemente
dal come e dal perché si sia evoluto in origine, diviene disponibile per la
cooptazione ad altri ruoli, spesso sorprendentemente diversi.>>[8].
E ciò avviene perché un discorso sulla biologia assomiglia meno a un trattato
di fisica che a una "storia"
<<Il problema risiede nella nostra concezione semplicistica e
stereotipata della scienza come fenomeno monolitico fondato sulla regolarità,
sulla ripetizione e sulla possibilità di predire il futuro. Questa formula
può essere valida per scienze che si occupino di oggetti meno complessi e
meno vincolati a una storia di quanto non sia la vita.>> [9]. Una logica evolutiva è implementata nel funzionamento dei computers di Bailey, capaci di "apprendere",
cioè di modificare il proprio software attraverso la variazione e la
selezione, con dinamiche di mutazione, ricombinazione e "deriva
genetica", e per questo più capaci di simulare i fenomeni della realtà,
dalle piene del Nilo allo sviluppo embrionale, dalla ricerca del cibo da
parte delle formiche alla dinamica dei prezzi, che sono limitati da leggi di
possibilità/impossibilità, ma intrinsecamente imprevedibili per l'influenza
degli elementi aleatori, e sono perciò dominati dalla contingenza storica. Una dinamica evolutiva è al cuore del dispositivo
pedagogico del "metodo naturale" di Paul Le Bohec,
capace di produrre una grande variazione nelle idee: <<…la creazione dei bambini è aperta, essi non si preoccupano
di creare degli strumenti, dei modelli. Ma quando si confronta con la realtà
quanto essi hanno ideato, ci si accorge che degli elementi della realtà
stessa si trovano presi nella rete. Ma non sono stati programmati. La
profusione di strade che possono aprirsi vanno evidentemente oltre il quadro
della stessa matematica.>>[10]. Della creatività matematica parlano anche i libri di
storia della scienza: è ormai nota la vicenda emblematica della geometria non-euclidea,
nata sotto il segno estetico della
ricerca di eleganza nel tentativo
di dimostrazione e di armonia nella
costruzione del sistema teorico, prodotto di spreco dell'evoluzione del
pensiero matematico, "disadatta" perché inapplicabile ad alcuna
realtà nota, e divenuta "la più adatta" nel contesto creato dalla
scoperta di una nuova realtà, quale quella descritta dalla teoria della
relatività. I "frattali" di Mandelbrot,
che sembrano nati dalla mente di un artista che gioca con i mezzi
informatici, costituiscono la più efficace descrizione matematica del corso
di un fiume, della chioma di un albero, della linea costiera, della
formazione delle nuvole… Ma se, nella sua gratuità, non risponde a un criterio
adattativo, dove cercare la legge della creatività? Forse là dove
l'evoluzione mostra la sua natura di "gioco", non solo come sfida,
come dinamica contingente tra necessità delle leggi e aleatorietà del caso,
ma anche come espressione di una estetica immanente, profonda e
inconsapevole, che connette la natura biologica con la forza creatrice del nostro
pensiero: <<Per il poeta la
primula può essere qualcosa di più. Avanzo l'ipotesi che questo di più sia in
realtà un riconoscimento autoriflessivo. La primula somiglia a una poesia e
poesia e primula somigliano entrambe al poeta. Quando guarda la primula, il
poeta apprende qualcosa del sé creatore.>>[11] UN
SOGNO DI RIFORMA A partire dalla matematica basata sulla dinamica
variazione-(interconnessione-)selezione, Bailey propone uno scenario di
sviluppo culturale in cui milioni di ricercatori dilettanti, dotati di
computer ormai capaci di processare grandi quantità di dati, immettono i
risultati delle loro ricerche locali in uno spazio comune dove, per
ricombinazione e selezione su base estetica, possono formarsi immagini più adeguate
del mondo in cui viviamo. Forse è una immagine "postmoderna" di
cooperazione: non so se corrisponde a quella della comunità dei bambini di Le
Boehc, sicuramente è una immagine in cui, come dice
Whitehead: <<L'errore
è il carattere che contraddistingue gli organismi superiori, ed è il maestro
grazie al quale si verifica una continua evoluzione>>. Immaginare una matematica evolutiva nella scuola significa
forse anche l'insegnamento di nuove matematiche visto che <<Le matematiche tradizionali
fondate sulle equazioni possono condurci a ignorare comportamenti che operano
simultaneamente in parallelo e comportamenti per i quali è importante la
storia.>>[12] e che, una volta installatosi nel
pensiero, il ragionamento sequenziale lascia poco spazio a una matematica
"parallela". Ma intanto, qui e ora, vuol dire un'epistemologia evolutiva: nel modo di
pensare all'apprendimento della matematica, e di conseguenza nel modo di
pensare un dispositivo per l'insegnamento della matematica basato
sull'ascolto, in cui, come dice Paul Le Bohec,
l'insegnante "non si
precipiti" a dare le soluzioni note (limitate pesantemente dalla sua
cultura). L'ultimo libro postumo di Bateson, in cui
il tema dell'estetica ha un posto centrale, si intitola "Dove gli angeli
esitano" in riferimento a un verso di Pope "perché gli stolti si precipitano là dove gli angeli esitano a
metter piede". |
[1] La pratica dell'economia è un luogo dove il nostro immaginario colloca la matematica, là dove abitano i "ragionieri" (curiosa questa vecchia parola che assimila il "calcolare" al "ragionare": a dirci che le applicazioni pratiche (e mercantili) della matematica sono il cuore del pensiero razionale moderno?
[2] Quanto ha influito la disponibilità, per gli
Egiziani prima e per i Greci poi, di un supporto cartaceo su cui è possibile
utilizzare la tecnica della riga e del compasso, nello sviluppo del linguaggio
della geometria, là dove a Babilonia i caratteri cuneiformi su tavolette di
argilla malcotte vedevano il sorgere del linguaggio
dei simboli numerici?
[3] Benoît Mandelbrot, "La geometria della natura", Theoria 1989.
[4] Paul Le Bohec, "Il testo libero di matematica",
[5] Idem.
[6] Idem.
[7] James Bailey, "Postpensiero",
Garzanti 1998.
[8] Stephen Jay Gould, "Quando i cavalli avevano le dita", Feltrinelli 1984
1995.
[9] Idem.
[10] Paul Le Bohec, "Il testo libero di matematica",
[11] Gregory Bateson, "La sacra unità", Adelphi
1997.
[12] James Bailey, "Postpensiero", Garzanti 1998.