Contesti, situazioni, materiali per un
apprendimento In un viaggio ci sono
due aspetti distinti: uno potremmo definirlo "struttura" ed è la
mappa spazio-temporale dei luoghi, delle cose, degli spostamenti, l'altro,
che potremmo chiamare "processo", è la storia irripetibile del suo
accadere. Per sua natura il secondo aspetto appartiene al presente o alla
memoria, mentre il primo può anche contemplare la dimensione del futuro,
della previsione, del progetto. C'èchi considera il secondo l'essenza stessa
del viaggio, e chi lo vive come l'inevitabile insieme degli accidenti che
fanno comunque da sfondo al primo. Per un insegnante che
voglia guidare un gruppo di alunni nel continente della matematica, c'è
sempre la possibilità dei viaggi organizzati, quelli in cui si tenta il più
possibile di predeterminare anche il "processo": programmazione,
curricoli, unità didattiche e libri di testo sono lì apposta, nell’agenzia
scuola. E può partire con la speranza, sostenuta dall’accuratezza
dell’organizzazione e dall’affidabilità dell’agenzia, che compagni di viaggio
e contesto non gli provochino troppi incidenti o contrattempi. Un'altra possibilità è
invece quella del viaggio aperto, d'esplorazione, d'avventura, dove saranno
le relazioni (cognitive, affettive..., tra viaggiatori, tra viaggiatori e
ambiente...) a determinare, nel presente del suo accadere lo sviluppo del
percorso. Nell’ "apprendimento naturale" ciò che spetta alla
responsabilità dell’educatore-guida è garantire le condizioni, prima fra
tutte l'ascolto, e non lo scegliere i percorsi. Anche un viaggio aperto
(e tra viaggio organizzato e viaggio aperto c'è tutta una gradazione) ha una
struttura, seppure "leggera": si sceglie una zona da esplorare, si
prepara un equipaggiamento, ci si procura una mappa. La mappa delinea una
rete di connessioni che la natura o la storia o l'intelletto umano hanno
costruito finora tra i luoghi. Una rete che può essere percorsa in molti
modi, forse infiniti: la mappa serve dunque a conoscere le possibilità. Chi segue un percorso
prestabilito affidandosi a una guida non ha bisogno di una mappa, soprattutto
non ha bisogno di usarla, come chi invece il percorso lo costruisce cammin facendo e vuol sapere in ogni momento dove si
trova; per non perdersi e per non perdere le occasioni che il territorio gli
offre. Ecco la proposta
dunque: strutture leggere di apprendimento, mappe di territori matematici,
tracce di percorsi possibili nella rete dei concetti, delle nozioni,
situazioni pratiche e materiali concreti, problemi e domande stimolo. L'esperienza di scuola
ci dà alcuni suggerimenti; per contrasto. Nella scuola, soprattutto dopo
l'elementare, normalmente l'apprendimento precede l'applicazione per cui le
situazioni problematiche proposte ai bambini (si vedano i problemi dei libri
di testo) vengono costruite rivestendo una struttura concettuale astratta
(non si sa "astratta" da dove) di elementi presi dalla realtà. Si
tratta dunque di situazioni simulate, ma non nel senso proprio di modelli semplificati
della realtà, ma di modelli artificiali di un'astrazione. Qui si segue invece il
principio didattico che l'apprendimento segue l'operatività e che l'operatività
nasce da un problema. Se un problema è tale, se cioè è capace di porre i
bambini in ricerca, l'artificiosità o naturalità della situazione perde di
importanza. Ciò che più importa è la naturalità con cui il bambino si
rapporta alla situazione. Le situazioni proposte sono sempre in qualche modo
simulazioni, sia perché per l'appunto sono proposte, cioè vi è un'intenzionalità
didattica, sia perché sono ritagliate da un contesto più ampio, sia perché
sono semplificate. Quello che importa nel rapporto con la realtà è che da una
parte esse siano dentro l’esperienza reale o possibile del bambino, vicino al
suo mondo; e dall’altra, se devono "essergli utili nella vita", che
per vita non si intenda quella scolastica in cui il metro e il fine dell’utilità
è la corrispondenza alla struttura stessa della scuola. È importante ricordare
che una mappa può essere considerata come il significante del territorio cui
rimanda, ma anche di per sé, come un oggetto con cui entrare in relazione. È
sempre possibile che ciascuna delle "mappe" che verranno proposte
possa diventare semplice situazione stimolo. Dare ai ragazzi il materiale
senza indicazioni di lavoro strutturate vuol dire lasciare che il lavoro
parta e si sviluppi dalle domande che i ragazzi pongono di fronte ad esso. È anche vero però che
il tipo di materiale, la sua natura e soprattutto la sua struttura, in qualche
modo delimitano il campo della ricerca, sia in termini di area concettuale,
di "contenuti disciplinari" se si preferisce, sia in termini di
abilità, capacità, operatività. Ci sono delle nozioni
implicate nell’uso del materiale. "Implicate" significa che
emergono alla coscienza e si strutturano nel contesto della soluzione del
problema se esso è usato euristicamente come situazione problematica nuova,
dove il procedere per tentativi ed errori, l'intuizione, la ristrutturazione
di conoscenze precedenti ecc. sono i processi che vengono attivati. La fantasia perversa di
un insegnante non dovrebbe avere difficoltà a trovare nuovi problemi,
complicando le situazioni o modificando il materiale. Oppure si possono
modificare le regole del gioco.. Qui si cercherà di
mettere in luce la struttura del materiale, della situazione proposta, che è
ciò che lo caratterizza e che lo ha fatto scegliere, sempre con la
consapevolezza che la struttura è un fatto cognitivo e che quindi quella è la
struttura che emerge alla coscienza di chi scrive stante la sua interazione
cognitiva con quel materiale. Non si sottolineerà mai abbastanza, perché ciò
è fondamentale nell’ottica non di insegnare ma di facilitare l'apprendimento,
che occorre essere attenti ad accogliere la relazione che ogni bambino può costruire
con il materiale e che può far emergere una struttura cognitiva diversa
inattesa interessante. reti topologiche:
IL METRÒ DI PARIGI L'insegnante turista A Parigi per un turista
come me il metrò significa poter passare la mattinata a C'è poi la mia passione
per la cartografia che non può essere soddisfatta dall’estensione limitata e
dalle sole due linee metropolitane di Milano, ma che si eccitava di fronte
all’impresa di decifrare il percorso della mia esplorazione di Parigi. Dunque
i pieghevoli che sono a disposizione dei viaggiatori nelle stazioni del metrò
e che contengono la mappa della quindicina di linee sotterranee erano al
centro della mia attenzione più delle mercanzie sulle bancarelle della riva
sinistra: alla fine nella borsa me ne ritrovai una decina; il riaffiorare
della mia coscienza professionale mi suggerì di prelevarne altrettanti e così
ne ebbi a disposizione giusto uno per ognuno degli alunni che mi attendevano
al rientro delle vacanze.
La mappa La mappa naturalmente è
a colori: ogni linea del metrò è contraddistinta da un colore. Lungo la linea
sono segnate le stazioni, mentre non compare né il tracciato urbano né la toponomastica
delle normali piantine cittadine. Accanto c'è l'elenco delle stazioni con
l'ubicazione espressa col sistema alfanumerico delle righe e colonne (usato
nella "battaglia navale" ma anche in genere nelle cartine
stradali). Il problema di chi
utilizza il metrò a Parigi è: - Mi trovo a X e devo andare a Y: che percorso fare per
arrivarci nel modo più semplice (quali linee prendere, in quale successione,
cambiando in quali stazioni)? - Il problema è
scomponibile in sottounità: a] verificare se a Y c'è una stazione b] se sì, individuare quali linee vi
passano (ogni linea è indicata da un numero che si trova segnato ai due capolinea) c] verificare se a X c'è una stazione d] se sì, individuare quali linee vi
passano (vedi b) e] confrontare se vi è una linea che passa
sia per X che per Y f] se sì, indicare in quale dei due versi
va utilizzata (il verso è indicato con il nome del capolinea di arrivo) g] se no, verificare se vi è qualche
stazione in comune tra le linee che passano per X h] se sì, individuare quali spezzoni di
linee diverse costituiscono percorsi da X alla stazione comune e da questa a
Y (vedi b] ed f]) i] se no, trovare linee che abbiano una
stazione in comune con la linea che passa da X e una con quella che passa da
Y e poi procedere come in h] j] se i percorsi individuati sono più di uno
scegliere quello più economico in termini di spazio-tempo k] per ogni tratto del percorso indicare il
verso di percorrenza (vedi f]) e indicare la stazione dove cambiare linea Questo è lo schema
totale: la difficoltà di soluzione dipende naturalmente dalla scelta di X e Y
e che determina i punti di uscita dallo schema. Vediamo degli esempi. 1) - Mi trovo alla
Porte de Versailles e devo andare al Centre
Pompidou che si trova a Beaubourg -. La consultazione dell'elenco delle
stazioni non riporta la seconda località. Ecco che il problema non è risolvibile
senza una cartina più dettagliata in cui compaiano oltre alle denominazioni
delle stazioni quelle di tutte le strade. 2) - Mi trovo alla
Porte de Versailles e devo andare a Porte de Entrambe le località sono nell’elenco
delle stazioni, che mi dà le coordinate per localizzarle in riquadri sulla
mappa. Scopro così che Porte de 3) - Mi trovo a Wagram e devo andare a Saint Maur
- Trovate le due stazioni, scopro che
stanno sulla stessa linea. Per individuare numero della linea e verso devo
proseguire oltre Saint Maur (nel verso di
percorrenza Wagram-Saint Maur)
fino al capolinea: scopro così che la linea è: - la 3 verso Gallieni - 4) - Mi trovo a Monceau e devo andare a Crimee
- A Crimee passa
solo una linea; seguendola fino al capolinea più vicino scopro essere la 7.
Da Monceau passa solo una linea; seguendola fino al
capolinea più vicino scopro essere la 2. Seguendo le due linee scopro che
hanno una stazione comune a Stalingrad. Devo dunque
prendere la linea 2 da Monceau a Stalingrad e la 7 da Stalingrad
a Crimee. Ma devo seguire la 2 oltre Stalingrad fino al capolinea per scoprire il verso in cui
devo prendere la 2; lo stesso per la 7. 5) - Mi trovo a Monge e devo andare a Convention - La linea 12, che è l'unica che passa per
Conventiion, e la 7 che è l'unica che passa per Monge, non hanno stazioni comuni. Vi sono però linee che
hanno stazioni comuni sia con la 12 che con la 7. Ad esempio la 6 (Pasteur e Place d'Italie), la 8 (Madeleine e Opera), la 10 (Sevres
Babylonee Jussieu), la 4
(Notre-Dame des Champs e Chatelet). Il percorso più breve sembra - la 7 verso Villejuif fino a Place d'Italie, poi la 6 verso Ch. De Gaulle-Etoile fino a Pasteur, poi la 12 verso Mairie d'Issy fino a Convention
- Percorsi anche mentali Le nozioni implicate
nel corretto uso della mappa sono essenzialmente quelle attinenti alla
geometria topologica. Da un punto di vista
topologico la mappa è una rete di linee, o meglio di segmenti, visto che non
esistono linee "circolari" e che quindi tutte le linee sono
caratterizzate da due capolinea. I punti sulle linee sono di vari tipi: gli estremi
(capolinea), gli interni (stazioni dove passa un'unica linea), i nodi a tre
(stazioni dove la linea si divide per raggiungere due capolinea diversi come
Maison Blanche o dove una linea transita per il
capolinea di un'altra, come Gambetta), nodi a quattro (dove si incrociano due
linee, come Pigalle), nodi a cinque (dove si
incrociano due linee nel capolinea di una terza, come Place
d'Italie), nodi a sei (dove si incrociano tre linee,
come Bastille), nodi a sette (dove si incrociano
tre linee nel capolinea di una quarta, come a Ch.
De Gaulle-Etoile), nodi a otto (dove si incrociano
quattro linee, come a Montparnasse, oppure si incrociano
tre linee dove fanno capolinea altre due, come a Nation). Sono nozioni
topologiche il fatto che sulla linea esiste un ordine e quindi un verso di percorrenza,
che bastano due punti su una linea aperta per determinare il verso. Gli ultimi due esempi
presentati (4 e 5) prima richiedono abilità euristiche e percettive oltre che
di rappresentazione spaziale: qual'e la strategia migliore per scoprire se
due linee hanno una stazione in comune? Seguirne una (a partire dalla
stazione che ci interessa, ma in quale verso?) memorizzando tutte le
stazioni, poi ripetere l'operazione sull’altra fino a riconoscere il nome di
una stazione già memorizzata; oppure memorizzare il colore di una linea e
cercare sull’altra un incrocio con quel colore; oppure "zoomando
all’indietro" con una osservazione meno dettagliata cercare di cogliere
contemporaneamente lo sviluppo delle due linee e quindi individuarne l'incrocio? L'ultimo esempio (5)
richiede in più anche una scelta: allora qual è il criterio di "economia"
di un percorso? il numero di stazioni attraversate (e quindi di fermate), il
numero di cambi di linea, una somma ponderata di entrambi? Si possono trovare
nuovi problemi complicando le situazioni: ad esempio studiare i percorsi più
economici di un turista che nel corso di una giornata si vuole recare in più
punti determinati della città. Oppure si possono modificare le regole del
gioco: il turista dispone di una tessera giornaliera che non consente di
utilizzare più di una volta la stessa linea o addirittura di percorrere lo
stesso tratto più di una volta. Qualcosa che si avvicina al classico problema
topologico dei "ponti di Koenisberg" (o
"di Eulero") Con una piccola
modifica la mappa può prestarsi ad altri problemi. Per esempio si potrebbe
fare delle linee 2 e 6 un'unica linea circolare eliminando il tratto da Ch. De Gaulle-Etoile a Porte Dauphine. Questa linea non avrebbe capolinea. Un primo problema da
risolvere sarebbe come individuare i due versi di percorrenza, visto che per
andare da una qualsiasi stazione a qualsiasi altra ci sono due percorsi
possibili nei due versi (su una linea chiusa occorrono tre punti per definire
il verso). Alcuni delle situazioni precedenti possono essere riproposte con
questa variante della linea circolare. Altre possibilità..... SOLIDI IMPOSSIBILI
La figura 1 viene
definita dalla maggioranza delle persone scolarizzate "un cubo". Una prima pista di
ricerca parte dalla proposta "costruiscilo e mettilo in modo che io lo
veda come nella figura"; a disposizione: plastilina, cartoncino matita e
forbici, filo di ferro. Qualunque sia il
materiale scelto e la precisione della costruzione non sarà possibile
ottenere un cubo che dia quella immagine. Infatti, se quello della
figura 1 è un disegno in prospettiva, allora sicuramente non si tratta di un
cubo perché i lati obliqui non potrebbero essere paralleli e quelli
trasversali non potrebbero avere tutti uguale lunghezza; se si tratta di una
assonometria quello disegnato è un parallelepipedo non cubo essendo i lati rappresentati
in obliquo più lunghi degli altri; se si tratta di una immagine proiettiva
non si potrebbero vedere i lati posteriori oppure si potrebbero vedere ma in
quel caso non si tratterebbe di un cubo (solido) ma dei "lati di un
cubo" (un cubo di fil di ferro vuoto); se si tratta di una immagine convenzionalizzata non sono esplicitate le convenzioni;
se ... È uno stereotipo
scolastico che fa dire che quello "è un cubo". Lo stereotipo agisce
a un doppio livello: il primo fa sì che la figura 1 venga ritenuta l'immagine
di un cubo nonostante non possieda quelle precise caratteristiche
geometriche che lo definiscono. Se nella realtà quotidiana inciampassimo a
ogni piè sospinto in cubi di varie dimensioni, materiali e colori, potremmo
pensare che l'errore sia di scarsa precisione nel rappresentarli, ma il riferimento
esperienziale rispetto ai cubi è proprio il mondo della geometria scolastica
dove per l'appunto il cubo è quella entità astratta dotata di quelle precise
caratteristiche. Il secondo livello consiste nell’affermare che quello È un
cubo e non solo l'immagine di un cubo, sanzionando l'identità del
concetto di solido geometrico con la sua rappresentazione bidimensionale e
quindi la estraneità del concetto di solido da quello di oggetto reale. Illusione realtà e geometria Nella proposta
iniziale, la richiesta di collocare il cubo rispetto al punto di vista apriva
il problema della visione: ammettendo per un momento che quello della figura
1 sia un oggetto tridimensionale, fissandolo per un certo tempo, la
percezione oscilla tra una visione in scorcio da sopra verso sinistra, e una
da sotto verso destra. Anche le altre figure
qui riportate vengono accolte come rappresentazioni di oggetti solidi, e solo
un’osservazione più attenta rivela che c'è qualcosa che non va. La
definizione che viene accettata è quella di solidi "impossibili" o
"paradossali". Se ci si prova a chiedere perché questi solidi
impossibili sono impossibili, difficilmente la risposta sarà quella corretta:
"perché non sono solidi".
La visione è una
rappresentazione fisicamente bidimensionale. L'illusione della tridimensionalità
si basa su abitudini percettive; quelle per cui ad esempio un uomo visto
molto più piccolo è interpretato come più lontano, escludendo per esperienza
che sia tanto più piccolo. Si tratta di pre-giudizi percettivi, utili per
muoversi nello spazio fisico quotidiano, ma anche a volte pericolosi come
dimostra quel campo di fenomeni cui appartengono, come casi estremi, le
cosiddette "illusioni ottiche" o molte opere di M.C. Escher. Un’esplorazione di questo campo [1] è
una premessa indispensabile a qualsiasi uso di rappresentazioni grafiche di
oggetti solidi. Attenzione perché per i ragazzi è affascinante e divertente!
Il problema della
scuola è che utilizza per i solidi rappresentazioni prospettiche, spesso imprecise,
senza esplicitare, e quindi senza rendere consapevoli, le regole che
codificano i rapporti tra queste, gli oggetti tridimensionali e i punti di
vista; e questo in un campo, quello della geometria, in cui tali rapporti
sono l'essenza stessa della disciplina. Il risultato è che
nella scuola non si studia la geometria dei solidi attraverso la loro rappresentazione
grafica, si studia la rappresentazione grafica; ma non nel senso del processo
che porta dal solido alla sua immagine bidimensionale sul foglio di carta,
bensì nel senso dell’oggetto grafico in sé. A dire il vero a scuola
ci si occupa di quel processo (prospettiva, proiezioni ortogonali), ma
purtroppo ciò avviene in una Materia diversa da quella in cui si studia la
geometria dei solidi, perciò non c'è speranza che le conoscenze acquisite
nell’una possano essere utilizzate nell’altra. Dunque un lavoro che
utilizza i solidi impossibili è un lavoro contro gli stereotipi della scuola,
si ispira a Shakespeare (<<Ci sono più cose in cielo e in terra,
Orazio, di quante ne immagina la vostra geometria>>) ed è consigliato
a giovani supplenti dispettosi. Esso si inserisce a puntino tra due premesse
didattiche: la costruzione di modelli e la rappresentazione grafica. Modelli e ombre Un lavoro che si può
fare per risolidificare i solidi geometrici è
quello di costruirne dei modelli usando materiali plastici. Se il processo di
astrazione procede dal meno al più astratto questo è il materiale da usare
per primo. Le superfici sono senz’altro più astratte dei solidi visto che non
possono esistere senza essere superfici DI qualcosa
di solido (esercizio da proporre in proposito: "va in bagno, riempi un
lavandino d'acqua, descrivine la superficie e poi portamela"). Le costruzioni con la
plastilina, se non si esercitano forme di repressione brutali, danno inevitabilmente
vita a forme diciamo non geometriche, e per l'appunto questo può essere una situazione
ottimale per capire che cos'è che fa di un oggetto un solido
"geometrico", ovvero che nesso c'è tra la geometria dei solidi e la
realtà degli oggetti, che è il livello zero del processo di astrazione. Anche costruire modelli
delle superfici dei solidi con il cartoncino può essere interessante: oltretutto
la differenza tra i due è cruciale per elaborare il concetto di volume come
grandezza dello spazio occupato e le procedure per la sua misura (misura non
calcolo). Con le superfici il problema che si pone è quello di disegnare su
un piano figure che, una volta ritagliate e disposte nello spazio, combacino
nei loro lati in modo da costituire le superfici del solido: si tratta di
prevedere le forme, le congruenze, i rapporti. Una variante del
disegno delle "superfici di sviluppo" può essere quella di proporre
il montaggio della superficie del solido a partire dalle facce separate una
dall’altra. Per complicare la vita e aguzzare l'ingegno, tra le facce se ne
può subdolamente aggiungere qualcuna non necessaria. Terzo grado dell’astrazione
sono i lati delle superfici dei solidi. Se ne possono costruire modelli
usando del filo di ferro o degli stuzzicadenti infilati in palline di
plastilina. Solo a questo punto si avrà qualcosa che assomiglia un po’ di più
ai disegni del libro. Le proiezioni
ortogonali di figure geometriche sono un classico scolastico, sul quale non è
necessario dilungarsi; anche se, stranamente, quasi nessuna classe ha potuto
mai vedere davvero una "proiezione" di ombre su tre pareti
ortogonali con proiettore disposto perpendicolarmente e magari, prima ancora,
disposto in posizioni non regolamentari ma interessanti per capire cosa
succede cambiando la relazione spaziale tra oggetto, punto di proiezione e
schermo. Un gioco che si può
proporre sulle proiezioni è quello di scegliere a casa propria un oggetto
semplice e comune, disegnarne le proiezioni sui tre piani ortogonali (magari
si può suggerire di guardare davvero l'oggetto da tre direzioni ortogonali,
spostandosi attorno ad esso) fare indovinare ai compagni di che oggetto si
tratta mostrandone le proiezioni (una sola per volta). Pur di tenere lontani i
bambini dai pericoli del contatto con la realtà, di solito a scuola si preferisce
far disegnare loro le proiezioni ortogonali a partire dalla rappresentazione
assonometrica. Ed è qui che il supplente dispettoso colpisce a tradimento.
Con noncuranza egli inserisce tra banali "cubi sormontati da piramidi
affiancate da parallelepipedi in bilico su sfere", qualche "solido
impossibile". L'effetto migliora se il compito viene dato per casa
subito prima della fine della lezione: nel pomeriggio si scatenerà una
cascata di telefonate allarmate condite di imprecazioni all’indirizzo del
prof. Se la proiezione dei
solidi impossibili presenta difficoltà, la loro realizzazione con modelli di
cartoncino o filo di ferro è per l'appunto impossibile: come proposta di
lavoro è dunque ancora più proficua come generatrice di domande, riflessioni,
spunti di lavoro. Può nascere la
curiosità di capirci di più in quelle figure. Un suggerimento è quello di
cercare individuare nel disegno dove precisamente sta l'incongruenza. Spesso
la figura è fatta di parti isolatamente "possibili" e l' "impossibilità"
nasce dal loro assemblaggio. Ai ragazzi che ci si
appassionano si può proporre di inventare, disegnandoli, altri solidi impossibili.
Quelli qui riprodotti vengono da un concorso del genere. LO SPECCHIO E IL DADO Quando un insegnante
riesce a ottenere da un alunno una rappresentazione corretta di una
configurazione simmetrica, pensa con soddisfazione che, anche grazie alla sua
opera didattica, l'alunno abbia scoperto, appreso, applicato un concetto.
Forse non ha mai pensato che, prima ancora che venisse a scuola, prima ancora
che nascesse, l'organismo di quel bambino aveva già fatto ben di più: si era autoorganizzato sviluppandosi in modo simmetrico (in ciò
per la verità non dimostrando superiorità alcuna nei confronti di una
aragosta o di un iris). La simmetria sembra
essere una delle forme più diffuse e importanti di organizzazione della
natura e forse per questo chiunque ne ha una comprensione empatica. Ma pare
che la scuola ne voglia anche una consapevolezza a livello di pensiero
verbale attraverso la formalizzazione. Ciò non significa che quel primo modo
di conoscenza della simmetria debba essere negato, o "superato".
Forse si può proprio lavorare su quella consapevolezza che deriva dalla lunga
convivenza con il proprio corpo, perché quello della simmetria sia un
riconoscimento. Il corpo doppio [2] Un approccio corporeo
ha il vantaggio non solo di partire dal vissuto ma anche dallo spazio
tridimensionale che è quello fisico. Solo in seguito si arriverà alle figure
sul piano: l'astrazione è un processo da seguire, non un oggetto da
acquisire. Si può cominciare
immaginando che il proprio corpo sia tagliato a metà; ciò significa individuare
nel corpo un piano di sezione che lo separi in parti "uguali"
(all’inizio si può accettare questa inesattezza). Poi l'indicazione sarà di
cercare dei movimenti in cui le due metà si muovano insieme, in modo che in
ogni istante la forma che assumono nello spazio le due metà sia uguale. Il
piano di sezione immaginario potrà essere indicato da una retta sul pavimento
e sul muro. Ai due lati di questo piano possono essere i corpi di due persone
a muoversi rispettando le stesse regole: il vantaggio sta nella possibilità
di vedere bene il movimento dell’altro, lo svantaggio nel non poter
"comandare" contemporaneamente i due movimenti ma, per uno dei due
almeno, di dover leggere e imitare un movimento esterno. Naturalmente anziché
eseguire movimenti si possono assumere posizioni, il che facilita il controllo.
La scoperta che i due movimenti o le due posizioni non sono
"uguali" nel senso della congruenza (sovrapponibilità) ma corrispondenti
"come le due mani" è più facile nelle posizioni in cui
l'orientamento avanti-dietro dei due corpi è parallelo. Se due persone affiancate
alzano entrambe la mano destra ci si accorge facilmente che non viene rispettata
la regola dell’uniformità rispetto al piano di sezione, mentre se essa viene
rispettata le mani alzate non sono identiche. "Simmetria" è allora
il nome che viene dato a questa "corrispondenza controlaterale"
a modello delle due metà del corpo umano. Camere oscure Nello snodo di
passaggio tra spazio tridimensionale e piano si può collocare l'esperienza
con la camera oscura [3]. Si prende una scatola
da scarpe di cartone. Al centro di una delle facce più piccole si apre un
foro di circa un centimetro di diametro sul quale si applicano tre pezzi di
nastro adesivo nero posti in modo da delimitare un forellino triangolare di
circa un millimetro (foro stenopeico). Al centro
della faccia piccola opposta della scatola si apre un foro a forma e
grandezza di occhio. Si taglia un pezzo di "carta da lucido"
semitrasparente di grandezza uguale alle facce piccole della scatola, se ne
piega ad angolo retto una striscia di circa mezzo centimetro che viene incollata
non in modo definitivo (esistono colle che si scollano) all’interno del
coperchio in modo che, una volta messo il coperchio nella sua posizione
usuale, il foglietto di carta penda verticalmente e parallelamente alle facce
piccole della scatola. Così la linea che passa dai due fori praticati
attraversa perpendicolarmente la carta semitrasparente. Tenendo ben chiusa la scatola e applicando
l'occhio all’apposito foro ciò che si vede è l'immagine di ciò che sta
davanti alla scatola proiettata sullo schermo di carta semitrasparente. O meglio: lo si vede se
l'interno della scatola è perfettamente buio (un accorgimento è di applicare
della gomma spugna colorata di nero ai bordi del foro oculare in modo che lo
spazio tra il bordo della cavità orbitale e il bordo del foro venga
sigillato, impedendo alla luce di entrare da quella parte), se il foro è della
grandezza giusta (se è troppo piccolo non entra abbastanza luce, se è troppo
grande l'immagine non è nitida), se lo schermo semitrasparente è applicato
alla distanza giusta (se è troppo vicino al foro stenopeico
l'immagine è troppo piccola, se è troppo vicino al foro oculare è troppo poco
luminosa). Queste difficoltà possono diventare occasioni di ricerca. Si può
ad esempio portare ai ragazzi una camera oscura già fatta e collaudata e proporre
di costruirsene una. Se alle domande "quanto deve essere grande il foro stenopeico?" e "dove deve essere applicato lo
schermo?" la risposta sarà "prova!", saranno i ragazzi stessi
a scoprire quale influenza hanno queste variabili sul fenomeno. Un altro modo di
costruire camere oscure è quello di spostare l'occhio dall’esterno
all’interno della scatola. Occorrono scatoloni di cartone più grandi da
utilizzare capovolti: lo schermo sarà applicato al fondo, e per poter introdurre
la testa si praticheranno dei tagli
nei lembi che servono da chiusura in modo che una volta ripiegati
resti una apertura delle dimensioni del collo (l'apertura deve essere
posizionata in modo che la nuca sia a contatto con la parete opposta al foro stenopeico, altrimenti lo schermo sarà troppo vicino agli
occhi rendendo difficoltosa la messa a fuoco) [4]. Ma la cosa più
interessante è che i ragazzi, quando hanno in mano (o in testa) una camera
oscura perfettamente funzionante e tentano di utilizzarla come
"telecamera", non possono fare a meno di incontrare difficoltà
nell’inquadratura: l'immagine è capovolta. Specchi Quasi sicuramente
saranno i ragazzi stessi a citare le loro esperienze con lo specchio, altrimenti
basta chiedere se conoscono qualche altra situazione simile. L'insegnante,
per una fortunata combinazione, proprio quel giorno ha nella sua capace borsa
uno specchio, e per giunta uno specchio rettangolare senza cornice (e con
bordi molati). Si tratta di
confrontare l'immagine ottenuta nella camera oscura con quella dello
specchio. Per facilitare l'operazione conviene usare un’immagine semplice e
senza assi di simmetria: si può ad esempio disegnare in grande una lettera
dell’alfabeto come Concretamente si può
applicare il foglio sul vetro della finestra, osservare la figura attraverso
la fotocamera, poi sempre sul vetro o sul banco (l'importante è che si possa
agevolmente manovrare intorno ad essa) si può osservare la figura riflessa
nello specchio posto perpendicolarmente al piano della figura. Se i ragazzi
sono liberi di provare e sono stimolati a farlo, metteranno lo specchio su
vari piani tutti perpendicolari a quello della figura ma in varie posizioni
ottenendo varie immagini [5]. Le
più "normali" sono quelle in cui l'intersezione tra piano dello specchio
e piano della figura è disposta lungo i lati del foglio, paralleli quindi
agli assi dominanti della F (figg. 2 e 3).
Se le immagini ottenute
sono riportate una accanto all’altra su un foglio il risultato è l'evidenza
che con lo specchio non si può ottenere l'immagine della fotocamera (fig. 4).
Il passo seguente è chiedere ai ragazzi come è possibile ottenerla. Il
contesto probabilmente favorirà la direzione dell’esplorazione: se è disponibile
più di uno specchio qualcuno arriverà alla soluzione della immagine
doppiamente riflessa (in uno specchio si vede riflessa l'immagine della F
riflessa da un altro specchio). La trasparenza del foglio di carta da lucido
aprirà la possibilità di vedere la figura anche ribaltando il foglio e di
scoprire quindi che con un doppio ribaltamento si ottiene la figura della fotocamera,
con ribaltamenti singoli (a partire sempre dalla F) quella dello specchio. Uno sviluppo del lavoro
è quindi l’esplorazione dell’isomorfismo tra ribaltamento e riflessione
speculare. Occorre fare attenzione alle condizioni legate ai modelli
materiali che si usano. La carta trasparente come modello del piano è il più
vicino al concetto di piano geometrico perché è più facile ignorare la sua
terza dimensione. Se come asse di simmetria si sceglie un segmento che
attraversa la figura (fig. 5) l'immagine ribaltata (fig. 2) risulta diversa
da quella speculare perché lo specchio nasconde una delle due parti e
"raddoppia" l'altra (figg. 6 e 7). Maneggiando il foglio
con La rotazione di 1/2
giro sul piano appare diversa dal ribaltamento solo perché si è passati alla
situazione bidimensionale del piano. Ma il ribaltamento, non come
trasformazione geometrica che considera solo gli stati iniziale e finale, ma
come movimento nello spazio reale (che è quello che si agisce concretamente
lavorando con i modelli), si svolge nello spazio tridimensionale, per cui i
due ribaltamenti e la rotazione di 1/2 giro del piano in realtà sono tre rotazioni
di 1/2 giro in tre direzioni ortogonali dello spazio. È più facile rendersene
conto se si lavora, anziché con una figura su un foglio, con un oggetto che
occupa spazio in tutte le direzioni. Il dado è as-tratto Se si cerca un oggetto
che facilita l'individuazione di tre direzioni ortogonali e che permette di
controllare facilmente i mutamenti di posizione nello spazio, un dado da
gioco è ciò che fa al caso. Supponiamo di assumere
come spazio di lavoro quello fisico e come direzioni privilegiate quelle
dell’osservatore umano [6];
allora avremo una posizione "standard" del dado in cui si distinguono
una faccia superiore e una inferiore, e, rispetto all’osservatore, una destra
e una sinistra, una anteriore e una posteriore. Assumiamo inoltre come regole
del gioco che sono ammessi solo movimenti di rotazione attorno ai tre assi perpendicolari
alle facce (si può costruire un dado di plastilina attraversato da tre ferri
da lana) che riportino sempre il dado nella posizione standard. Se le facce
sono contraddistinte dai segni dei numeri da
Tra l'altro si può
scoprire che, mentre le posizioni relative possono mutare, l'accoppiamento
delle facce opposte resta fisso, per cui la matrice può essere semplificata:
Ma allora anche queste
informazioni sono sovrabbondanti per descrivere uno stato: infatti se si
tengono fisse due facce adiacenti le altre non possono cambiare posizione.
Perciò sono sufficienti due facce adiacenti per definire la matrice di stato:
Una prima indicazione
può essere quella di scoprire quanti stati diversi ci sono. Si può cercare di
calcolarne il numero senza provarli tutti, o comunque individuare una
strategia di esplorazione per evitare di dimenticarne qualcuno o di contare
due volte lo stesso (per ogni numero su una certa faccia ci sono 4
possibilità ottenute ruotando di 1/4 di giro sull’asse perpendicolare a
quella faccia; ci sono 6 numeri che possono comparire su quella faccia...). Ora possiamo limitare i
movimenti concessi a rotazioni di 1/2 giro sui tre assi, che chiamiamo
ribaltamenti. Sarebbe in questo caso opportuno colorare con la stessa tinta
le facce opposte: sono allora consentiti solo i movimenti che riportano lo
stesso colore sulla stessa faccia. Gli stati si riducono a 4: siamo nella
stessa situazione del foglio con la differenza che quest’ultimo nasconde la
terza dimensione. Un gruppo di trasformazioni Finora gli stati, cioè
le configurazioni del cubo numerato nello spazio, sono stati considerati come
elementi di un insieme, e i movimenti ammessi come passaggi da uno stato
all’altro, cioè trasformazioni. Si può passare su un livello diverso di
astrazione assumendo come elementi le trasformazioni stesse e operando su di
esse. Avremo un insieme di tre trasformazioni: (ribaltamento) ant-pos, sin-des, sup-inf; l'operazione che si può fare utilizzando questi elementi
è quella del comporre. È una funzione binaria, cioè a una coppia di elementi
(trasformazioni) ne corrisponde uno, mentre le funzioni del livello precedente
(trasformazioni) erano unarie, perché a un elemento (stato) ne facevano
corrispondere un altro. Il lavoro a questo
punto può essere quello di controllare se componendo due trasformazioni, ovvero
applicandole di seguito l'una sullo stato risultato dall’altra, si ottiene
un’altra trasformazione, cioè si giunge a uno stato che si potrebbe ottenere
con un’altra sola trasformazione, compresa tra quelle dell’insieme
(verificare gli stati è facile se si usa la matrice di stato). Un’altra caratteristica
da esplorare è l'esistenza di trasformazioni inverse di altre, cioè trasformazioni
che, se vengono applicate allo stato finale di una trasformazione, riportano
allo stato di partenza di quella. Nel nostro caso ogni trasformazione è inversa
di se stessa. Ancora si può
verificare se l'ordine di composizione di tre trasformazioni è rilevante o
meno (associatività: se cioè componendo con la terza quella risultata della
composizione delle prime due si ottiene lo stesso risultato che componendo
con la prima quella risultata dalla composizione della seconda con la terza.
La verifica come sempre si fa applicando le trasformazioni a uno stesso stato
iniziale e osservando stati finali (si opera su due livelli logici). Ne viene fuori una
tabella come la seguente, nella quale è stata inserita anche una "trasformazione
nulla" o "identica", quella cioè che riporta allo stato di
partenza (elemento neutro).
Quello che l'insegnante
sa, ma che ai ragazzi, impegnati a non perdere il filo della loro esplorazione,
interesserebbe ben poco, è che questa è una struttura algebrica di gruppo, il
Gruppo di Klein, estremamente interessante (si vedano i lavori di Piaget e di Dienes) perché si
ritrova in molte situazioni matematiche e geometriche significative. E questa potrebbe essere
un’altra pista. |
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[1] Si veda "Illusione e realtà: problemi della percezione
visiva", letture da Le scienze, Le Scienze S.p.A. 1978.
[2]
Lo spunto per questa proposta mi è stato dato dal lavoro di Giovanna Armando e
Rita Montinaro nella Scuola Elementare statale di Ferrandina (Matera).
[3] Un riferimento per questo tipo di lavoro è "La fotografia
senza obbiettivo .2", curata da Ando Gilardi per
[4]
Una direzione di sviluppo della ricerca
può essere quella dei fenomeni della visione, interpretando la camera oscura
come un modello dell’occhio umano.
[5] Su questo terreno di lavoro esiste anche un materiale strutturato
del MCE: il "Simmetroscopio".
[6] È essenziale esplicitarlo, altrimenti si ingenera quella letale
confusione, tipicamente scolastica, tra spazio geometrico non orientato e
spazio fisico orientato dalla gravità.